阳矿小学“单元纲要式”备课教案

课程名称

数学广角---植树问题

设计者

刘慧梅

学校

阳矿小学

总课时

3课时

适用年级

五年级上册

课程类型

基础课

统整方式

单元内

¨超单元

课程解读

年段课标目标结构

     《义务教育数学课程标准（2022年版）》在总目标中提出了在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

    《义务教育数学课程标准（2022年版）》在学段目标的第二学段中提出尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。

     《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程内容的第二学段中提出通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。

     教材中设置数学广角单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体验探索建立模型的过程和数学思想方法。

在本册的数学广角﹣植树问题的教学中，教师要引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。

教材内容结构分析

本单元主要向学生渗透有关植树问题的一些思想方法。教科书以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究植树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、实验、推理的探索过程，启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活解决生活实际问题。

本单元安排了三道例题，其中教科书P104的例1和P105的例2是探究线段上的植树问题，教科书P106例3是探究封闭曲线上的植树问题，学生在探究问题的过程中渗透化繁为简的思想，并且重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。在教科书P106例3中通过问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，渗透转化的数学思想。

学情分析

由于学生初次接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高。但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中对教科书内容进行适当调整，并充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动。

学习活动安排

实施对策

1.经历建模的过程，感悟思想方法。“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元教学时，教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现蕴含于不同的情形中的规律，经历抽象出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。比如，教科书P104例1的教学，可以让学生经历猜想、实验、归纳、推理的过程，渗透简单的化归、数形结合、对应、推理等数学思想，激发学生学习数学的兴趣。

2.突出画图的策略。在教学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观发现规律、理解规律，建立模型找出解决问题的方法。另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽另一端不栽，两端都不栽三种情况弄混。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。

课时安排

         植树问题（1）  例1

         植树问题（2）  例2

         植树问题（3）  例3

课程实施

第（一）课时解读

教学内容

植树问题（1）

教学目标

1.通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都栽的植树问题的规律。

2.经历和体验将复杂问题简单化的解题策略和方法。

3.感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力。

教学流程

教学准备

                  课件

教学过程

对照目标反思环节

一、创设情境，生成问题

师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？我们一起来猜个谜语好不好？（课件出示）

【学情预设】学生们会回答：手。

师：请你们伸出左手并张开手指，仔细观察，大家看到了什么？

【学情预设】学生会回答有5根手指和4个空隙。如果学生只能说出有5根手指，教师要引导学生数一数5根手指之间有几个空隙。

师：这4个“空隙”也可以说成4个“间隔”，5根手指之间有4个间隔，那4根手指之间有几个间隔呢？3根手指之间呢？（学生在自己的手上数一数）

师追问：2根手指之间呢？（全班一起找）

师：通过刚才我们找手指数和间隔数的活动，你们发现了什么？

【学情预设】手指数比间隔数多1或间隔数比手指数少1。

师：你们真聪明，发现了手指数与间隔数之间的关系！像这类隐藏着总数和间隔数之间的关系的问题，我们称为植树问题。今天，我们就一起来研究植树问题。［板书课题：植树问题（1）］

【设计意图】从学生熟悉的事物入手，根据学生已有的认知，创设有趣的猜谜语游戏，激发学生的学习兴趣。同时，充分利用学生已有的生活经验，让学生对间隔现象有初步的认识，逐步学会用数学的眼光观察世界。

二、探索交流，解决问题

师：学校开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题。（课件出示教科书P104例1）

1.理解信息。

指名学生读题，并要求学生说出从题中知道的信息。

师：谁能说一说“一边”“两端都要栽”的含义？

【学情预设】学生可能会说“一边”就是一旁，有可能是左边也有可能是右边，“两端都要栽”指的是路的一头一尾都要栽。

师：“每隔5m”是什么意思？

【学情预设】学生可能会说每两棵树之间的距离是5m。

师小结：“全长100m”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指小路的左边或右边；“每隔5m栽一棵”是指每两棵树之间的距离，简称“间距”；“两端都要栽”指小路的起点与终点处都要栽。

2.试算。

师：一共要栽多少棵树，谁来算一算？

学生独立完成后，汇报算法。

【学情预设】学生很可能根据100÷5=20，猜测要栽20棵树；也有学生认为小路的两端都要栽，应该是20+2＝22，所以是22棵；还有学生猜是19棵或21棵。

师：实践是检验真理的唯一标准。我们该怎样确定谁的猜测正确呢？

【学情预设】引导学生回答通过验证来寻求答案。

师：对，验证是检验答案的最好方法，下面我们就一起想办法来验证一下。但100m的路太长了，我们可以先在短距离的路上试一试，看一看要栽的棵数是多少。我们可以把这条路看成较短的20m、25m、30m……通过画图得出规律，再根据规律求100m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。

3.简单验证，发现规律。

师：现在，我们就以20m为例，看一看20m的路可以栽几棵树。如果这条路的一边用一条线段来表示，每隔5m栽1棵树，一共要栽多少棵树？

指名学生上台板演画图并解答。

【学情预设】指导学生作图如下：

师：每个间隔长度是几米？有几段间隔？栽了几棵树？

【学情预设】间隔长度是5m，有4段间隔，栽了5棵树。

师：观察间隔数和栽树棵数之间的关系，大家发现了什么？

【学情预设】因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1。

师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔数和棵数之间的关系提供一个方向。

师：一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。大家再看看25m的路的一侧可以栽几棵？

学生独立思考，小组交流。

根据交流结果，完成表格。

课件出示表格。

教师巡视，观察学生完成情况，对于有困难的小组，教师及时给予帮助。（课件出示正确结果）

师：观察表格，你有什么发现？把你的结论在小组内说一说。

【学情预设】学生会说棵数比间隔数多1，也有学生会说间隔数比棵数少1。

师：同学们做得非常好，通过猜测、讨论、验证，可以发现植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路的一边植树，如果两端都要栽的话，那么栽树的棵数比间隔数多1。

师：现在，我们用研究出的这个规律再来做一做教科书P104例1，看看你们之前的猜测对不对。

【学情预设】指导学生得出算式：100÷5=20，20+1=21（棵）。

师生交流并板书。

师：通过探究，我们找出了间隔数和棵数之间的关系。现在请你们仔细观察表格，你们还有什么发现？

【学情预设】学生会说发现：路长÷间隔长=间隔数。

【设计意图】向学生渗透一些重要的数学思想方法，教学时通过现实生活中的一些常见的实际问题，让学生构建出其中的数学模型，从中发现规律。

三、应用规律，解决问题

师：在日常生活中，也有很多类似于植树问题的例子。下面就请同学们应用我们今天发现的规律，去解决身边的一些问题吧。

1.完成教科书P105“做一做”第1题。

学生独立思考后，全班交流。

2.完成教科书P107“练习二十四”第1、2题。

学生独立完成，全班交流。

3.完成教科书P107“练习二十四”第4题。

师：这一题和教科书P104例1有什么不同之处吗？

【学情预设】学生可能回答例1是知道了路线长度求栽树的棵数，而这一题是知道树的棵数求路线长度。

师：根据“种了36棵”这个条件可以知道什么？

【学情预设】学生可能回答，可以知道间隔数共有：36-1=35（个）。

师：“每隔6m”是什么意思？路线长多少米呢？

【学情预设】每个间隔是6m。路线长为35×6=210（m）。

【设计意图】通过基本问题使学生进一步掌握在公路一侧两端都栽树的情况下，树的棵数和间隔数之间的关系，深化学生对规律的理解，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

四、课堂小结

师：通过这节课的学习，你们有什么收获？

作业设计

1.在一条长50m的小路的一边，每隔10m栽一棵树(两端都要栽)，一共要种几棵树？

列式：________________________________

板书设计

植树问题（1）

两端要栽

100÷5=20

20+1=21（棵）

棵树=间隔数+1

课程评价

学校的林荫大道的一边摆了26盆鲜花，相邻两盆之间的距离是4 m。如果两端的鲜花不动，现在要多摆25盆，相邻两盆鲜花之间的距离应改为多少米?

课程实施

第（二）课时解读

教学内容

植树问题（2）

教学目标

1.通过画图发现在一条线段上两端都不栽、一端栽一端不栽的植树问题的规律。

2.经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。

3.激发学习兴趣，培养认真读题、审题的学习习惯。

教学流程

教学准备

课件

教学过程

对照目标反思环节

一、复习铺垫，导入新课

师：老师听说同学们的植树问题学得很好，我要考考大家，你们敢接受老师的挑战吗？（课件出示题目）

【学情预设】大多数学生都能给出解答算式：21÷3+1=8（棵）。

师：同学们的解答是正确的。植树问题可是一门大学问，生活中根据需要有时要道路两端都栽，有时要道路两端都不栽，有时一端栽一端不栽。这节课，我们继续来探究植树问题中的另外两种情况。［板书课题：植树问题（2）］

【设计意图】通过复习道路两端都栽的植树问题，为学生学习新知识打基础。

二、探索交流，发现规律

1.探寻“两端都不栽”植树问题的规律。

课件出示教科书P105例2。

指名学生读题。

师：从题中同学们都知道了哪些信息？你觉得哪些信息比较重要？

【学情预设】学生会说“两旁”“两端都不栽”等信息比较重要。

师：谁能说一说“两旁”“两端都不栽”的含义？

【学情预设】“两旁”指的是道路两边，“两端都不栽”指的是道路的一头一尾都不栽。

师：请同学们联系我们学过的例1，找一找两端都不栽时，间隔数与棵数之间的关系。

学生先独立思考，然后小组互相讨论，集体汇报。

【学情预设】预设1：先画一个简单的线段图看看，以20m长的路为例，每隔5m栽一棵树，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽5棵树。

两端都要栽棵数=间隔数+1

预设2：同样长的线段，每隔5m栽一棵树，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，“棵数=间隔数-1”，也就是说栽的棵数比间隔数少1。

两端都不栽棵数=间隔数-1

师：运用这一模型，例2可以怎样解答呢？

【学情预设】引导学生列出算式60÷3=20，20-1=19(棵），19×2=38（棵）。

师：为什么要“×2”？（因为小路两旁都要栽树。）今天研究的植树问题和前面有什么不同？

【学情预设】今天研究的是两端都不栽的植树问题，植树棵数比间隔数少1。

师：少的“1”在哪呢？请你指一指。（出示课件）

师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解答过程，通过与教科书P104例1中两端都要栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。

2.对比反思，提升认识。

师：两端都不栽与两端都要栽的情况相比有什么相同？有什么不同？

【学情预设】例1中两端都要栽时，得出的数学模型为：棵数=间隔数+1；例2采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。

教师根据学生回答，出示课件。

3.探寻发现“一端栽，一端不栽”植树问题的规律。

课件出示教科书P105“做一做”第2题。

师：这道题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽，一端不栽）先猜一猜结果，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。

【学情预设】预设1：用画线段图的方法得出一共要栽7棵树。

预设2：这种一端栽一端不栽的情况，应该是：棵数=间隔数，可直接得出：35÷5=7（棵）。

师小结：在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。

4.理解规律。

师：植树问题有哪几种情况？每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？

【学情预设】学生会回答有三种情况，分别为：两端都栽，棵数=间隔数+1；两端都不栽，棵数=间隔数-1；一端栽一端不栽，棵数=间隔数。（教师适时板书）

师：我们是通过什么方法得到这些结论的？

【学情预设】学生会说运用化繁为简的方法。

师：如果你忘记或者混淆了这些情况，可以怎样做？

【学情预设】学生会说画线段图。

【设计意图】引导学生理解、掌握植树问题的三种情况及其解决方法。

三、巩固提高，强化认识

1.完成教科书P107“练习二十四”第5题。

学生独立思考后交流。

2.完成教科书P107“练习二十四”第6题。

学生独立思考后交流。

四、课堂小结

师：这节课，你们学会了什么?

作业设计

两座楼房之间相距112m，每隔8m栽一棵松树(两端都不栽)，一共要栽多少棵松树？

板书设计

植树问题（2）

  两端都要栽：                  两端都不栽：        一端栽一端不栽：

棵数=间隔数+1               棵数=间隔数-1           棵数=间隔数

课程评价

在一条笔直的跑道的一边插旗帜，每隔3m插一面(两端都不插)，一共插了68面，这条跑道有多长？

课程实施

第（三）课时解读

教学内容

植树问题（3）

教学目标

1.通过生活中的事例，体会解决封闭路线植树问题的思考方法。

2.能够运用自己发现的规律解决封闭路线的植树问题，进一步培养画图能力和语言表达能力。

3.感受数学与生活的联系，培养应用数学的意识。

教学流程

教学准备

课件

教学过程

对照目标反思环节

一、复习导入

师：学校开展校园文化建设，下面是五（1）班分到的植树任务。在植树过程中，他们遇到了问题，你们能帮他们解决吗？（课件出示问题）

【学情预设】预设1：两端都要栽：8÷2+1=5（棵）。

预设2：两端都不栽：8÷2-1=3（棵）。

预设3：一端栽一端不栽：8÷2=4(棵）。

师：今天这节课，我们继续研究植树问题的另一种情况。［板书课题：植树问题（3）］

【设计意图】通过复习已经学过的在线段上植树的几种情况，为本节课的学习打基础。

二、探究新知

1.理解题意。

课件出示教科书P106例3。

引导学生读题，找出已知条件和所求问题。

师：这个植树问题和学过的植树问题有什么相同和不同的地方？

【学情预设】学生会说相同之处都是已知长度和间隔距离；不同之处在于前两节课学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆的周围植树的问题。

师：对，这节课我们要学习的内容就是在一条首尾相接的封闭线路上植树的问题。

2.自主探究。

师：前两节课中，我们都是通过画图来发现规律再解题的。这道题你们能用同样的方法解决吗？试一试。

学生独立画图思考，教师巡视指导。

【学情预设】预设1：学生用列表法发现规律。（课件出示下表，表中答案逐步显示）

预设2：学生可能会把圆拉直成线段。（师追问：这种情形相当于在线段上植树问题中的哪种情况？）

预设3：学生给出算式：120÷10=12（棵）。

3.总结规律。

师：通过上面完成的表格，大家发现了什么规律？

【学情预设】学生可能会说在封闭路线上植树，植树的棵数等于间隔数。

师：以40m的长度为例，将圆拉直成线段，我们来观察一下。（课件出示）

师：我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一端栽一端不栽”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。

师生交流后板书：封闭路线上的植树问题：棵数=间隔数

【设计意图】因为学生已经有了在线段上植树的学习经验，所以在引导学生比较例3与例1、例2的相同点和不同点之后，便放手让学生利用已有的学习方法，自行探究在封闭路线上植树的问题。

三、巩固提高

1.完成教科书P106“做一做”。

学生独立完成，全班汇报。

2.课件出示习题。

引导学生分析题意，找出已知条件和所求问题。

【学情预设】已知栽树棵数是15棵，也就是间隔数是15个，还知道间距是3m，求距离，用乘法，即间距×间隔数=距离。最后得到：3×15=45（m）。

3.完成教科书P108“练习二十四”第10题。

学生独立思考完成后交流。

四、课堂小结

师：这节课，你们有什么收获呢？

作业设计

有一个圆形花坛，绕着它走一圈是114 m。如果沿着花坛周围每隔6 m栽一株月季花，一共要栽多少株月季花？

36个同学在操场上围成一个圆圈做游戏，每相邻两个同学之间的距离都是2 m，这个圆圈的周长是多少米？

板书设计

植树问题（3）

120÷10=12（棵）

封闭路线上的植树问题：棵数＝间隔数

课程评价

一个圆形的湖的周长是1240 m，在它的周围每隔8 m栽一棵柳树，在相邻两棵柳树之间再栽2棵杨树，两种树各要栽多少棵？